DEFINICIÓN:
El
conjunto potencia es un conjunto A denotado por P(A) o Pot(A) es el conjunto
formado por todos los subconjuntos de A
.
.
PROPIEDADES
El
conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto.
Un conjunto cualquiera siempre es
un elemento de su conjunto potencia:
CARDINALIDAD
El número de elementos del
conjunto potencia es precisamente una potencia del número de elementos en el
conjunto original:
Ejemplo
A = {m; n; p}
Los
subconjuntos de A son:
A = {m}, {n},
{p},{m,n},{m.,p},{n,p},{m,n,p}, { Ø}
Entonces el conjunto potencia de A es:
¡Es binario!
Y esto es lo más sorprendente. Si quieres crear un conjunto potencia,
escribe la sucesión de números binarios de n cifras, y con cada número haz un
subconjunto: cuando haya un "1", añade el elemento que corresponde.
Se entiende mejor con un ejemplo:
A = {a, b, c}
abc
|
Subconjunto
|
|
0
|
000
|
{ }
|
1
|
001
|
{c}
|
2
|
010
|
{b}
|
3
|
011
|
{b,c}
|
4
|
100
|
{a}
|
5
|
101
|
{a,c}
|
6
|
110
|
{a,b}
|
7
|
111
|
{a,b,c}
|
Bueno, no están ordenados, pero están todos.
P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
NOTACIÓN
DE CONJUNTO POTENCIA
El
número de elementos de un conjunto se suele escribir |S|, así que ahora
escribimos:
|P(S)| = 2n
Ejemplo
¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia
de S= {1, 2, 3, 4, 5}?
Bien, S tiene 5 elementos, así que:
|P(S)| = 2n = 25 = 32
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
DIAGRAMA
DE VENN
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